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主编审稿
CHINESE AND ASTM STANDARD PENETRATION TESTS AT SAND SITE: PENETRATION ENERGY ANALYSIS AND CORRELATION OF BLOW COUNTS
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摘要: 本文进行了美国《标准贯入测试和对开管取样的标准试验方法》(ASTM D1586-11)(美标)和中国《岩土工程勘察规范》(GB 50021-2001)(国标)标准贯入原位测试对比试验，获得了美标、国标标贯对比数据。标贯锤击能量分析表明，美标锤击能量较国标高。利用经验贝叶斯克里金插值法考虑锤击数的空间变异性，将不同空间位置的锤击数据转化到同一位置进行比较，分别建立了考虑与不考虑克里金插值误差的美标与国标标准贯入转换关系模型，发现考虑插值误差后转换模型的模型误差显著降低。对境外液化数据库的分析表明，当采用本文提出的标准贯入转换关系后，境外液化案例与我国《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)中的液化判别方法符合程度更高。Abstract: This paper examines the Standard Penetration Tests(SPTs) according to Standard Test Method for Standard Penetration Test(SPT) and Split-Barrel Sampling of Soils(ASTM D1586-11) and Chinese Code for Investigation of Geotechnical Engineering(GB 50021-2001). It conducts the SPT at a sand site in Guangdong province,China. It is found that tests conducted according to ASTM D1586-11 have higher penetration energy than those conducted according to GB 50021-2001. To consider the spatial variability of the blow counts,an empirical Bayesian Kriging method is used to interpolate the blow counts measured through tests conducted according to GB 50021-2001 at the locations where tests according to ASTM D1586-11 are conducted. The maximum likelihood method is used to calibrate the relationship between the blow counts measured from the two types of tests with and without consideration of the interpolation error. After the interpolation error is considered,the model uncertainty of the relationship between blow counts measured through the two types of tests is significantly reduced. Through the conversion relationship suggested in this paper,the liquefaction phenomena observed in a liquefaction database with case histories collected outside mainland China become more consistent with the liquefaction potential assessment model specified in the Chinese Code for Seismic Design of Buildings Code(GB 50011-2010).
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0. 引言
地震诱发的砂土液化因其破坏大、较难准确识别是岩土与地震工程界广为关注的问题之一(王刚等，2007；周燕国等，2017；张晓超等，2018；王兰民，2020)。目前对于一般性场地液化的判别方法主要是基于现场原位测试数据的经验判别法，其中基于标准贯入试验的经验判别法(Seed et al., 1983；陈国兴等，2015；Cetin et al., 2018a, 2018b) 是目前应用最广泛的经验判别法，并已被中国《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)(中华人民共和国住房和城乡建设部，2016)、日本铁道协会《铁路桥梁设计标准及条文解释：抗震设计》(JRA，1996)、美国土木工程师协会(ASCE)《建筑荷载设计规范》(ASCE/SEI 7-16)(ASCE，2016)等多个规范采用。
我国《建筑抗震设计规范》(GB 50011-2010)中液化判别方法(后简称建规法)主要是基于谢君斐(1984)收集的我国大陆地区唐山地震(1976)、海城地震(1975)、通海地震(1970)、邢台地震(1966)中的148组案例建立的(李兆焱等，2012)。在上述数据库中，唐山地震(1976)案例共92组，占比高达62%。利用该数据库建立的判别方法对于唐山地区液化评价效果可能更好。然而我国幅员辽阔，地层条件复杂多变，主要基于唐山地震案例建立的液化判别方法应用在其他地区的时候则可能出现不准确的现象(李兆焱等，2012；姜伟等，2019)。因此，为了提升建规法的适用性，有必要进一步丰富我国规范所依托的数据库。由于地震液化案例数据仅能在实际地震发生后才能采集到，将境外地震液化案例合并吸收到建规法案例库是扩充数据库最简单、可行的方法。
目前，由于国内外采用的标贯试验方法在规程上存在较大差异，在同一个场地采用不同标贯试验获得的锤击数可能并不相同，这是整合现有数据库的最大障碍。美国材料实验协会(ASTM)《标准贯入测试和对开管取样的标准试验方法》(ASTM D1586-11)(ASTM，2011a)(以下简称美标)和英国标准(BS)《土木工程土壤测试实验方法》(BS 1377-1990)(BSI，1990)(以下简称英标)是境外应用最广泛的两种标贯试验方法。廖先斌等(2013)针对英标标贯和我国《岩土工程勘察规范》(GB 50021-2001)(中华人民共和国国家标准编写组，2009)(以下简称国标)的标贯试验进行对比，建立了两种试验锤击数之间的转换关系。而对于美标与国标，现有研究主要集中在两者规程条文的比较上(吴晓东，2014；中国电力规划设计协会，2015；程瑾等，2016)，尚未进行原位对比试验，两种规程标贯锤击数之间的转换关系尚不明确。
本文的目的是开展国标、美标标贯对比实验，建立可用于液化判别的标贯击数的定量转换关系。本文将首先比较美标、国标标准贯入试验的差异，之后对本研究开展的美标、国标标准贯入对比实验进行介绍。在此基础上，对标准贯入锤击能量和实验结果进行了分析，建立了国标与美标标贯击数之间的转换关系。最后，将转换关系应用于境外地震液化案例数据库，对转换关系的适用性进行了初步验证。本研究的成果有助于实现建规法数据库与境外数据库的互通，可为进一步完善我国液化判别方法提供基础数据支持。
1. 美标、国标标准贯入试验规程比较
目前中美标准贯入的差异主要集中在测试规程、使用设备与使用条件上(中国电力规划设计协会，2015)。国标采用的标贯设备与美标在贯入器管靴刃口厚度、贯入器长度、锤垫质量、落锤形式等方面存在差异。例如，对于贯入器，中国规范采用的贯入器管靴刃口厚度是1.6mm，而美标采用的厚度是2.5mm。对于落锤系统，美标规定的落锤包括穿心锤和安全锤，其中安全锤是美国使用最广泛的一种落锤(Farrar，1991)，也是美标更为推荐的形式(ASTM，2011b)。国标采用的落锤为具有自动脱钩系统的穿心锤。廖先斌等(2016)通过实验发现，落锤系统中锤垫质量跟落锤能量传递效率密切相关，锤垫质量越小，能量传递效率越高，标准贯入击数越小。目前在中国广为应用的落锤系统的锤垫质量为2~5kg，而美国广为使用的安全锤，锤垫在安全锤套筒中，其尺寸和质量更小，因此可能具有更高的能量传递效率。
此外，标准贯入锤击数的使用上也存在较大差异。建规法建议采用不修正的标贯锤击数N进行液化判别。美国《建筑荷载设计规范》(ASCE/SEI 7-16)(ASCE，2016)、《地震荷载设计规范》(FEMA P-750)(BSSC，2009) 推荐参考美国国家地震工程研究中心(NCEER)的方法(Youd et al., 2001)进行液化判别。NCEER方法在考虑能量传递和有效应力修正的基础上，进一步考虑标准贯入设备、钻杆杆长等因素对锤击数进行修正，并基于修正后的锤击数进行液化判别。NCEER方法中锤击数修正公式为：
(N1)60=NmCNCECBCRCS (1) CE=ERi/60 (2) 式中：Nm为美标标贯试验实测锤击数；CN为上覆应力修正系数；CE为落锤能量修正系数；ERi为落锤系统能量系数(%)；CB为钻孔直径修正系数；CR为杆长修正系数；CS为对开管衬管修正系数。上述修正系数的取值详见Youd et al. (2001)。
由于建规法数据库中缺乏锤击数修正相关的资料，从各个修正系数入手建立美标国标标贯击数转换关系非常困难。因此，本文将研究NCEER方法(Youd et al., 2001)定义的修正的锤击数(N1)60与国标未经修正锤击数(以下简称NG)的转换关系的经验公式。
2. 场地实验方案及仪器设备
谢君斐(1984)提供了我国历史上9场地震中搜集的159个震后液化调查案例，包括98个液化案例，61个非液化案例。建规法数据库中148个案例均选自谢君斐(1984)(李兆焱等，2012)。在谢君斐(1984)数据库中，77%的案例位于细砂、粉砂和含细粒土砂地层中，89%的案例标贯击数小于20，91%的案例埋深小于10m，发生液化的案例中99%的标贯击数小于20。参考上述数据库，本次试验选取的实验场地位于广东省湛江市徐闻县外罗镇附近，如图 1所示。该场地属海岸堆积地貌，地形平坦，场地标高为10.04~10.57m，场地内无明显人工扰动，场地临近海域，地下水位受到海水涨潮、落潮的影响，地下水与海水存在水力联系。
图 2给出了该场地两个钻孔处的地质剖面图。钻孔深度范围内为第四系海陆交互相沉积层(Q4mc)，根据采集的扰动样级配分析，粒径大于0.25mm的颗粒含量为0.01% ~21.0%，粒径大于0.075mm且小于0.25mm的颗粒含量为47.5% ~91.9%，细粒含量(≤0.075mm)为8% ~51%，黏粒含量(≤0.005mm)为2.7% ~8.7%。根据《岩土工程勘察规范》(GB 50021-2001)(中华人民共和国国家标准编写组，2009)，试验深度范围内主要为细砂、粉砂(工程上常合称为粉细砂)。根据《土的工程分类标准》(GB 50145-2007)(中华人民共和国国家标准编写组，2007)，试验深度范围内主要为含细粒土砂和粉土质砂。如图 2所示，该场地地面以下10m内国标标贯击数大部分位于20以下，少部分位于20~50之间。试验期间地下水位埋深1.3m，地下水位高程8.83m。该试验场地位于Ⅶ度烈度区，场地包含细砂、粉砂、含细粒土砂、粉土质砂，大多数标贯击数位于20以内，是典型的可能发生液化的场地。
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图 2 地质剖面图及ZJN05，ZJN04钻孔国标、美标对比实验钻孔柱状图Figure 2. Geologic profile of the site and comparison between NG and (N1)60 in ZJN05,ZJN04 boreholes试验场地钻孔布置图如图 3所示，包括国标标贯钻孔13孔，美标标贯钻孔6孔。钻孔呈等边三角形布置，相邻孔间距3m，总场地呈边长21m的等边三角形。对于每一个钻孔，以地表以下0.5m为清孔后预贯入起始深度，之后以1.5m为间距沿深度方向布置7个标贯点，钻孔累计设计深度为9.95m。实际试验中，由于施工精度的问题，部分钻孔标贯点深度与数量略有变化。
表 1给出了本次试验国标、美标标贯对比试验设备的详细信息，所使用的落锤系统如图 4所示。国标标准贯入采用目前国内岩土勘察中常用的设备，其落锤为自动脱钩的穿心锤。美标标贯试验采用了美国广为使用的安全锤，通过卷扬机将落锤提升至规定高度，操纵机械脱钩装置，使安全锤自由落下。两种标准贯入试验使用同一组钻机、卷扬设备以及钻杆，在进行不同标准测试时替换为规范指定的贯入器与落锤。
表 1 现场试验采用的设备参数Table 1. Apparatus used in the experiment国标规
定参数国标实
际参数美标规
定参数美标实
际参数落锤形式 穿心锤 安全锤 落锤质量/kg 63.5 63.6 63.5±1 64.2 锤垫质量/kg — 4.9 — — 落锤钻杆等
总质量/kg— 91.2 — 83.8 贯入器管靴
刃口厚度/mm1.6 1.6 2.5 2.5 钻杆 直径Φ 42，相对弯曲<1/1000 直径Φ 42，单位质量6.27 kg·m-1 直径Φ41.2，单位质量4.5~7.5 kg·m-1 直径Φ 42，单位质量6.27kg·m-1 由于标贯现场对比试验在时间和费用上代价均较为高昂，本研究选择在约200m2的场地内布置了13个国标钻孔和6个美标钻孔，共获得36组国标、美标锤击数有效对比数据，由此研究两者之间的经验关系。文献中，Lingwanda et al. (2015)在30m×30m的试验场地上基于8个标贯钻孔获得的46组标贯数据建立了标贯试验与静力触探、轻型动力触探试验结果之间的经验关系；Kirar et al. (2016)分别采用了9个标贯钻孔获得的53组数据和8个标贯钻孔获得的21组数据，建立了砂性土和黏性土中剪切波速和标贯试验结果之间的转换关系。本文中用于研究国标、美标锤击数经验关系的数据与上述文献中试验数据数量相当。
3. 美标、国标标准贯入试验贯入能量分析
为测量贯入能量，试验中在钻杆上安装了美国PDI公司的标准贯入能量分析仪，采用ASTM推荐的速度应力法(ASTM，2016)进行能量分析。图 5a给出了19个钻孔中两种落锤系统实测落锤能量系数(ER，实测能量与理论能量474.5焦耳的百分比)沿深度的变化。可以看出，两种落锤系统的实测能量具有显著差异，其中美标实测能量较大，且离散性较大；国标实测能量小于美标实测能量，且能量离散性较小。经验表明对于同一组设备可假定能量系数不随标贯击数变化，且当标贯击数为20~50时能量分析仪测定能量较为稳定。图 5b给出了这一范围内19个钻孔的锤击能量分布，由图可知，能量系数离散性显著减小。该范围内国标设备292组能量系数测量值的均值为82.8%，标准差为0.06。作为比较，廖先斌等(2013)采用42mm钻杆测量的国标能量系数的均值为85%、标准差为0.03。本研究中美标安全锤采用脱钩系统，相比美国传统使用的缆索锚架提升的安全锤产生的锤击能量更高。美标设备140组能量系数测量值的均值为96.4%，标准差为0.05。如前所述，由于美标安全锤的锤垫和杆件均在安全锤套筒里，锤垫质量非常小，因而可能具有更高的能量传递效率。图 5中部分美标锤击能量系数超过100%，类似的情况也在动力触探试验(DPT)中观测到(陈龙伟等，2020)，这可能与锤击过程中触及到较硬夹层导致落锤回弹有关(陈龙伟等，2020)。对比图 5a，图 5b可以看出，两种标贯方法的能量系数沿深度均未呈现明显趋势。陈龙伟等(2020)在动力触探试验(DPT)研究中也发现了类似的现象。
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图 5 国标、美标锤击系统能量系数沿深度变化a. 全部测量数据; b. 20~50击范围内数据Figure 5. Hammer systems energy ratios of GB, ASTM along the depth上述分析表明，两种试验中锤击能量存在较大的差异，这对两种标贯测试获得的原始锤击数有重要影响。为方便比较，将两种标贯试验获得的未经修正的锤击数按其测试深度分成0.5~2.0m，2.0~3.5m，3.5~5.0m，5.0~6.5m，6.5~8.0m，8.0~9.5m，9.5~11.0m共7个深度范围。表 2给出了这7个深度范围内两种试验获得的原始锤击数均值。由表可知，美标与国标原始锤击数均值沿深度方向变化较大，两者比值位于0.44~1.55之间，平均为0.87。这可能与国标标贯试验能量系数低于美标标贯试验能量系数有关。
表 2 美标、国标标贯未修正锤击数均值沿深度变化的情况Table 2. Comparison between the mean values of the original blow counts of ASTM and GB at the same depth interval深度范围/m 国标击数均值 美标击数均值 美标/国标 0.5~2.0 3.56 2.94 0.83 2.0~3.5 3.80 5.91 1.55 3.5~5.0 3.98 1.75 0.44 5.0~6.5 7.79 4.97 0.64 6.5~8.0 7.18 7.21 1.00 8.0~9.5 24.56 19.91 0.81 9.5~11.0 15.34 12.86 0.84 平均 0.87 4. 美标修正-国标标准贯入击数相关性初步分析
根据试验结果，采用式(1)、式(2)计算(N1)60时，落锤系统能量系数取ERi=96；有效应力σ′v按砂土湿重度18kN·m-3，饱和重度19kN·m-3进行计算。以ZJN04(美标)、ZJN05(国标)为例，图 2给出了两个相邻钻孔的锤击数。图中，短横线上的数值为贯入30cm所需的锤击数，横线下方的数值是标准贯入正式贯入部分的深度范围。可以看出，在相近深度位置上，(N1)60一般大于NG。图 6a、图 6b分别给出了13个国标钻孔和6个美标钻孔的NG和(N1)60沿深度方向的测试结果。由图可知，除了少数异常值以外，(N1)60和NG沿深度方向呈现相似的趋势，而且在深度较大的情况下(N1)60大于NG。
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图 6 标贯击数沿深度方向的测试结果对比a. NG; b. (N1)60Figure 6. Comparison of NG and (N1)60 along the depth表 3对比了不同深度范围内(N1)60和NG的均值。由表可知，除深度范围3.5~5.0m，相同深度范围内NG均值均小于(N1)60均值，但(N1)60与NG均值的比值在不同深度范围内存在较大差异，从0.92~3.48不等。由此可见，通过分层方法对标准贯入试验数据进行分析的结果具有较大的不确定性。图 2表明，同一钻孔在临近深度锤击数有较大变化，表明锤击数在深度方向存在变异性；图 6表明，即使在同一深度，不同钻孔标贯锤击数也存在较大差异，表明锤击数在水平方向也存在变异性。如要获得(N1)60和NG更准确的关系，需考虑锤击数空间变异性的影响。
表 3 相同深度(N1)60和NG的均值对比情况Table 3. Comparison between the mean value of (N1)60 and NG at the same depth interval深度范围/m NG均值 (N1)60均值 (N1)60/NG 0.5~2.0 3.56 6.60 1.85 2.0~3.5 3.80 13.24 3.48 3.5~5.0 3.98 3.65 0.92 5.0~6.5 7.79 9.53 1.22 6.5~8.0 7.18 14.09 1.96 8.0~9.5 24.56 35.99 1.47 9.5~11.0 15.34 22.03 1.44 5. 克里金插值方法
为考虑标贯锤击数的空间变异性，本文将利用克里金插值法计算同一空间位置的(N1)60值与NG值，在此基础上进行两种标贯击数的相关性分析。
克里金方法是一种可以考虑地质体空间变异性的插值算法，其将插值结果定义为已知点数据的线性组合。常用的普通克里金假设未知点的参数服从2阶平稳随机过程，未知点的待估数据Y(x)可表示如下(Matheron，1963；韩忠华，2016)：
Y(\boldsymbol{x})=\beta_{0}+Z(\boldsymbol{x}) (3) 式中：x为未知点坐标；β0为未知常数，代表Y(x)的数学期望；Z(·)为均值为0、方差为σ2的2阶平稳随机过程。令R代表样本点间的相关矩阵，r代表未知点与样本点间的相关向量，R和r可由半变异函数计算得到。Z(x) 即可按下式进行计算(Matheron，1963；韩忠华，2016)：
Z(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{r}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{R}^{-1}\left(\boldsymbol{y}_{s}-\beta_{0} F\right) (4) 式中：β0=(FTR-1F)-1FTR-1ys，F为元素全部为1的列向量，ys为样本点观测值。该预测值对应的插值误差可按下式进行计算(Matheron，1963；韩忠华，2016)：
s(\boldsymbol{x})=\sigma \sqrt{1-\boldsymbol{r}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{R}^{-1} \boldsymbol{r}+\left(1-\boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{R}^{-1} \boldsymbol{r}\right)^{2} / \boldsymbol{F}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{R}^{-1} \boldsymbol{F}} (5) 本研究采用地理信息系统软件Arcgis Pro中的地统计分析模块中经验贝叶斯克里金算法进行分析(Pilz et al., 2008；Krivoruchko et al., 2014, 2019)。相比于其他克里金方法，经验贝叶斯克里金可以考虑半变异函数估计的不确定性，因而可以更准确地计算预测标准误差。同时它对一定程度上具有奇异值的数据以及小规模数据具有比其他克里金方法更好的预测准确度(Krivoruchko et al., 2019；ESRI，2020a)。针对克里金法在偏斜分布的数据中对异常值敏感、岩土工程参数(如标贯击数)沿深度具有一定变化趋势、土体性质在垂直方向的变化速率往往高于水平方向等问题，经验贝叶斯克里金算法可分别选择对偏斜数据进行经验法或对数经验法变换、对数据移除一阶趋势项、采用极大似然法标定高程膨胀因子以考虑土体空间变异性在水平和竖直方向上的差异，以使预测变得更加精确稳定(Krivoruchko et al., 2019；ESRI，2020a)。
经验贝叶斯克里金算法可选用多种半变异函数，如幂函数、线性函数、薄板样条函数、指数函数、消减函数以及K-Bessel函数，其中K-Bessel函数计算时间最长，但拟合的变换最灵活且精度最高(Krivoruchko et al., 2019；ESRI，2020a)。其形式表示如下(Johnston et al., 2001)：
\gamma(h ; \theta)=\theta_{s}\left[1-\frac{\left(\Omega_{\theta_{k}}\|h\| / \theta_{r}\right)^{\theta_{k}}}{2^{\theta_{k}-1} \Gamma\left(\theta_{k}\right)} \mathrm{K}_{\theta_{k}}\left(\Omega_{\theta_{k}}\|h\| / \theta_{r}\right)\right] (6) 式中：h为两点间距离；θs为偏基台值；θr为变程；θk为常数；Ωθk为使γ(θr)=0.95θs的常数；Γ(·)为Gamma函数；Kθk(·)为K型Bessel函数。
半变异函数的形式，以及是否进行数据分布变换和趋势项移除，均会对预测结果产生较大影响(王辉等，2018；杨阳等，2019)。本文采用留一法进行交叉验证，根据交叉验证的结果选择与数据匹配最优的半变异函数、变换与趋势项组合。具体操作为，在原始数据中选择一个数据，利用其余数据生成克里金场并在选择的数据点空间位置进行预测，将预测结果与已知结果进行比较。重复上述过程直至遍历数据库中所有的数据。汇总交叉验证的结果，计算均方根误差、平均标准误差、平均连续分级概率评分(CRPS)等。其中CRPS(Brier，1950；Gneiting et al., 2007)可以衡量预测的累积分布函数与每个已观测数据值之间的偏差，是较优的交叉验证诊断指标(ESRI，2020b)。
考虑到各种因素对岩土工程参数(如标准贯入击数)的影响不是相加而是多个因素的相乘，如Youd et al.(2001)，岩土工程参数往往服从对数正态分布(Cao et al., 2016；Ching et al., 2019)。图 7给出了对数转换后的ZJN04、ZJN05中的锤击数。由图可知，两钻孔的ln(N1)60与ln NG变化趋势与图 2相似，但差异更小。本文将数量最多的具有83组数据的NG进行对数变换，获得ln NG后再进行克里金插值。其交叉验证结果较优的前5个模型如表 4所示。表中均方根误差代表所有交叉验证预测值与实际值的均方根，95%置信区间占比代表实际值在交叉验证预测值95%置信度范围内数据量的百分比，平均CRPS为所有数据点的CRPS的平均值。根据交叉验证结果，选取表 4中平均CRPS最小的模型1进行插值分析。
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图 7 对数变换后ZJN05国标钻孔和ZJN04美标钻孔对比图Figure 7. Comparison between lnNG and ln(N1)60 in ZJN05,ZJN04 boreholes表 4 不同半变异函数、数据变换、趋势项组合的交叉验证结果比较Table 4. Comparison of the cross-validation results under different combinations of semivariance function,data transformation and trend removal模型
编号半变异
函数趋势项
移除数据
变换均方根
误差95%置信
区间占比平均
CRPS1 K-Bessel 第一阶 无 0.429 95 0.234 2 K-Bessel 第一阶 经验法 0.468 95 0.237 3 消减函数 第一阶 经验法 0.482 94 0.244 4 消减函数 第一阶 无 0.453 95 0.246 5 指数函数 第一阶 经验法 0.488 94 0.246 图 8a给出了由ln(N1)60与克里金插值得到的lnNG转换回原始空间的(N1)60和NG的对比图。由图可知，图中存在两个异常点，这可能是因为粉细砂场地内具有少量较密实或较软弱的夹层造成的。剔除上述2个异常点数据后，剩余36组(N1)60和NG数据。图 8b给出了ln(N1)60与克里金插值得到的lnNG的散点图。由图可知，剩余36组ln(N1)60与lnNG数据呈现出较为良好的线性关系。
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图 8 克里金插值后相同空间位置数据对比a. (N1)60和NG; b. ln(N1)60与lnNGFigure 8. Comparisons of (N1)60 and NG,ln(N1)60 and lnNG at the same position6. (N1)60-NG的转换关系研究
图 8表明，在对数空间中ln(N1)60与lnNG显示出较强的线性关系。因此，采用如下线性回归模型考虑两者之间的关系：
\ln \left(N_{1}\right)_{60}=b \ln N_{\mathrm{G}}+a+\varepsilon (7) 式中：a、b是待定系数；ε是以均值为0、标准差为σε的正态分布随机变量。(N1)60与NG在原始空间中关系式即为：
\left(N_{1}\right)_{60}=e^{a+\varepsilon}\left(N_{\mathrm{G}}\right)^{b} (8) 当b=1时，式(8)为不含截距项的线性函数；当b不为1时，式(8)为幂函数。线性函数模型较为简单，且等式左右量纲统一。幂函数模型对(N1)60和NG之间可能存在的非线性关系具有更好的拟合效果。
克里金方法除了得到标贯击数的估计值外，还可以得到未知空间点的插值误差。本文将分别建立考虑和不考虑插值误差的(N1)60和NG的转换关系，并对插值误差的影响进行讨论。
6.1 不考虑插值误差时的转换关系
令μln NG、εln NG分别代表克里金法在某一美标标贯测点预测的lnNG的均值和插值误差。根据式(7)和回归分析的误差正态分布假设，ln(N1)60的观测值lnd将服从以μln(N1)60为均值，以σln(N1)60为标准差的正态分布，分别按下式进行计算：
\mu_{\ln \left(N_{1}\right)_{60}}=b \mu_{\ln N_{\mathrm{G}}}+a (9) \sigma_{\ln \left(N_{1}\right)_{60}}=\sigma_{\varepsilon} (10) 当a，b和σε已知时，观测到ln(N1)60为lnd的概率为：
f\left(d \mid a, b, \sigma_{\varepsilon}\right)=\phi\left\{\frac{\ln d-\mu_{\ln \left(N_{1}\right)_{60}}}{\sigma_{\ln \left(N_{1}\right)_{60}}}\right\} (11) 式中：ϕ为标准正态分布的概率密度函数。令D={d1，d2，…，d36}代表在36个测点处(N1)60的观测值。当a，b和σε已知时，观测到D的概率为：
l\left(\boldsymbol{D} \mid a, b, \sigma_{\varepsilon}\right)=\prod\limits_{i=1}^{36} \phi\left\{\frac{\ln d_{i}-\mu_{\ln \left[\left(N_{1}\right)_{60}, i\right]}}{\sigma_{\ln \left[\left(N_{1}\right)_{60}, i\right]}}\right\} (12) 将式(9)、式(10)代入式(12)即可获得待标定参数a，b和σε的似然函数。基于极大似然原理，对式(12)或其对数值取最大，即可获得幂函数模型的极大似然估计值。当b=1时，式(8)退化为线性模型，此时待标定参数为a和σε。采用极大似然法，对线性模型和幂函数模型进行标定的结果如表 5所示。
表 5 不考虑插值误差的(N1)60和NG的转换关系参数Table 5. Estimated parameters for the relationships between (N1)60 and NG without considering the interpolation error函数形式 a b σε BIC 线性函数 0.296 1.000 0.426 47.948 幂函数 0.393 0.948 0.425 51.236 一般而言，增加参数可以提高模型对数据的拟合程度，但是增加参数也会提高模型的复杂度。贝叶斯信息准则(BIC)可综合考虑拟合优度与模型复杂程度(Schwarz et al., 1978)。该值越小，说明模型受数据支持程度越高。表 5同时给出了线性模型和幂函数模型的BIC值。该表显示线性模型具有较小的BIC值，线性模型受数据支持的程度更高。
图 9为不考虑插值误差时获得的ln(N1)60-lnNG转换关系图及95%置信区间。幂函数模型的均值用实线表示，其2倍标准差区间边界(95%置信区间)用虚线表示。线性函数模型的均值用点划线表示，其2倍标准差区间边界用点虚线表示。由图可知，大部分观测点都落在模型2倍标准差范围内。
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图 9 不考虑插值误差的转换关系和ln(N1)60与lnNG比较Figure 9. Estimated relationships without considering interpolation error and comparison between ln(N1)60 and lnNG6.2 考虑插值误差时的转换关系
当考虑克里金插值误差后，式(7)可以写成如下形式：
\ln \left(N_{1}\right)_{60}=b \mu_{\ln N_{\mathrm{G}}}+a+b \varepsilon_{\ln N_{\mathrm{G}}}+\varepsilon (13) 假设克里金的插值误差εln NG服从均值为0，标准差为σln NG的正态分布，bεln NG+ε也服从均值为0的正态分布。ln(N1)60的观测值lnd服从以μln(N1)60为均值，以σln(N1)60为标准差的正态分布，此时μln(N1)60依然为式(9)，根据误差传播定律，σln(N1)60可按下式进行计算：
\sigma_{\ln \left(N_{1}\right)_{60}}=\sqrt{\left(b \sigma_{\ln N_{\rm G}}\right)^{2}+\left(\sigma_{\varepsilon}\right)^{2}} (14) 将式(9)、式(14)代入式(12)，可获得考虑插值误差时关于a，b和σε的似然函数，对式(12)或其对数值取最大，即可获得a，b和σε的极大似然估计值。表 6分别给出了线性模型、幂函数模型的标定结果及其相应的BIC值。相比而言，线性模型具有更小的BIC值，线性模型受数据支持的程度更高。表 5表明，当不考虑插值误差时，两种ln(N1)60-lnNG转换关系的误差约为0.43。表 6表明，在考虑插值误差后，两种转换关系的误差小于0.23。考虑插值误差后，两种转换关系的不确定性显著降低。
表 6 考虑插值误差的(N1)60和NG转换关系参数Table 6. Estimated parameters for the relationship between the(N1)60 and NG considering the interpolation error函数形式 a b σε BIC 线性函数 0.283 1.000 0.194 46.678 幂函数 0.434 0.917 0.227 49.422 图 10给出了考虑插值误差的ln(N1)60-lnNG转换关系图及95%置信区间。图中灰色点代表克里金模型预测的lnNG的均值，灰色直线代表以均值为中心的1倍插值误差的范围。可以看出，拟合关系95%的置信区间与所有非异常点数据的1倍标准差区域均存在重合，说明插值误差和转换关系的模型误差基本可以解释观测数据与转换预测值之间的差异。与图 9相比，考虑插值误差的转换关系的95%置信区间的宽度显著减小。
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图 10 考虑插值误差的转换关系和ln(N1)60与lnNG比较Figure 10. Estimated relationships considering interpolation error and comparison between ln(N1)60 and lnNG由于考虑插值误差后建立的转换关系模型不确定性更小，且线性模型受数据支持的程度更高，本文推荐采用考虑插值误差的线性模型建立ln(N1)60-lnNG转化关系。根据表 6，该关系即为：
\ln \left(N_{1}\right)_{60}=\ln N_{\mathrm{G}}+0.283, \sigma_{\varepsilon}=0.194 (15) 根据式(15)，若已知国标标贯值，(N1)60的最优估计值及95%置信区间可分别按下式进行计算：
\left(N_{1}\right)_{60}=1.326 N_{\mathrm{G}} (16) \left(N_{1}\right)_{60}=(0.899 \sim 1.957) N_{\mathrm{G}} (17) 类似地，若已知美标标贯值，NG的最优估计值及95%置信区间可分别按下式进行计算：
N_{\mathrm{G}}=0.754\left(N_{1}\right)_{60} (18) N_{\mathrm{G}}=(0.511 \sim 1.112)\left(N_{1}\right)_{60} (19) 7. 模型验证
Boulanger et al.(2012)整理了1944~1995年发生的25场地震230个震后调查案例，其中包含大陆地区案例11个(1976年唐山地震7例、1975年海城地震4例)、大陆以外案例219个。由于数据库中大陆案例的锤击数采用国标法测试获得，故选取大陆以外219个案例，采用本文提出的国标-美标转化模型进行分析。该219个案例包含液化案例107个、非液化案例109个、液化-非液化边缘案例3个。在本文分析中，将液化-非液化边缘案例视作液化案例。Boulanger et al.(2012)案例库中包含了震后勘察的原始未经修正的锤击数以及修正后的(N1)60。其中(N1)60的部分修正参数的计算方法与NCEER方法存在一定差异。为使用本文提出的转换公式，按照NCEER方法对数据库中的(N1)60值进行了重新计算。
为考察转换关系的合理性，将分别在采用和不采用转换关系的情况下，研究上述数据库与建规法中液化准则的符合程度。建规法中标贯锤击数临界值Ncr的计算公式如下：
N_{\mathrm{cr}}=N_{0} \beta\left[\ln \left(0.6 d_{\mathrm{s}}+1.5\right)-0.1 d_{\mathrm{w}}\right] \sqrt{\frac{3}{\rho_{\mathrm{c}}}} (20) 式中：β为调整系数；ds和dw分别为砂层和地下水位埋深；ρc为黏粒含量；N0为液化判别标准贯入锤击数的基准值，可采用如下公式进行计算后再四舍五入取整计算(Yang et al., 2017)：
N_{0}=\frac{43 a_{\max }}{a_{\max }+0.5} (21) 由于Boulanger数据库缺乏黏粒含量数据，本文采用如下经验公式对其进行估算(Hwang et al., 2001)：
\rho_{c}=\frac{F C}{3} (22) 式中：FC为细粒含量。
本研究首先采用数据库中未经修正的锤击数作为液化判别的标贯击数，利用式(20)对数据库中非中国大陆地区的案例进行液化判别(为方便表述，后简称未采用转换关系的方法)，计算判别成功率。随后，再利用本文提出的转换关系将上述数据库中的(N1)60转为国标标贯击数，利用式(20)对同样的案例进行液化判别(后简称采用转换关系的方法)，计算判别成功率。两种条件下判别成功率的结果如表 7所示。由表可知，应用转换关系后液化、非液化案例判别成功率以及总成功率均有所提高，表明采用转换公式后非中国大陆地区的案例与建规法液化判别准则的符合程度更高。
表 7 采用转换关系与未采用转换关系方法的判别结果比较Table 7. Results of the liquefaction assessment models adopting and without adopting conversion model未应用转换关系 应用转换关系 液化案例判别成功率 0.927 0.936 非液化案例判别成功率 0.642 0.661 总体判别成功率 0.785 0.799 模型误差均值 0.851 0.835 模型误差变异系数 0.469 0.442 BIC 190.0 181.9 为进一步验证转换公式的合理性，本文对采用转换关系与未采用转换关系的方法的模型误差进行了分析。令Na代表真实锤击数临界值，令模型误差z代表基于式(20)获得的锤击数临界值Ncr与真实临界锤击击数Na的差别，如下所示(葛一荀等，2019)：
N_{\mathrm{a}}=z N_{\mathrm{cr}} (23) 假定模型误差z服从对数正态分布。z的均值和变异系数可采用极大似然法进行标定(葛一荀等，2019)。若标定出的模型误差均值小于1，说明式(20)低估了锤击数临界值，从平均意义上偏于保守，反之说明式(20)高估了锤击数临界值，从平均意义上偏于不安全。
首先对未采用转换关系的方法的模型误差进行了标定，获得的模型误差的均值为0.851，变异系数为0.469。随后，对采用转换关系的方法进行标定，获得的模型误差的均值和变异系数分别为0.835、0.442。葛一荀等(2019)曾采用建规法数据库中1974年以后发生的唐山地震(1976)、海城地震(1975)的案例对式(20)的模型误差进行过标定，获得的模型误差均值和变异系数分别为0.803、0.424。采用转换关系的方法的模型误差结果与葛一荀等(2019)利用建规法数据库中唐山地震(1976)、海城地震(1975)的案例获得的模型误差标定结果更为接近。此外，表 7还给出了两种条件下模型误差对应的BIC值。由表可知，采用转换关系方法的BIC值更小，这也从另外一个角度说明转换后境外案例数据与式(20)的符合程度更高。
8. 小结
本文开展了国标、美标标贯现场原位对比试验，获得了国标、美标标贯击数对比数据，发现美标标贯试验能量系数较国标高。采用克里金插值方法考虑锤击数的空间变异性，建立了考虑与不考虑插值误差条件下砂土场地国标与美标标贯锤击数之间的转换关系，发现考虑插值误差后转换关系的模型误差明显降低。对境外液化数据库的分析表明，将转换关系应用于境外液化数据库后，境外液化案例与国标液化准则的符合程度更高。
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图 2 地质剖面图及ZJN05，ZJN04钻孔国标、美标对比实验钻孔柱状图
Figure 2. Geologic profile of the site and comparison between NG and (N1)60 in ZJN05,ZJN04 boreholes
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图 5 国标、美标锤击系统能量系数沿深度变化
a. 全部测量数据; b. 20~50击范围内数据
Figure 5. Hammer systems energy ratios of GB, ASTM along the depth
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图 6 标贯击数沿深度方向的测试结果对比
a. NG; b. (N1)60
Figure 6. Comparison of NG and (N1)60 along the depth
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图 7 对数变换后ZJN05国标钻孔和ZJN04美标钻孔对比图
Figure 7. Comparison between lnNG and ln(N1)60 in ZJN05,ZJN04 boreholes
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图 8 克里金插值后相同空间位置数据对比
a. (N1)60和NG; b. ln(N1)60与lnNG
Figure 8. Comparisons of (N1)60 and NG,ln(N1)60 and lnNG at the same position
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图 9 不考虑插值误差的转换关系和ln(N1)60与lnNG比较
Figure 9. Estimated relationships without considering interpolation error and comparison between ln(N1)60 and lnNG
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图 10 考虑插值误差的转换关系和ln(N1)60与lnNG比较
Figure 10. Estimated relationships considering interpolation error and comparison between ln(N1)60 and lnNG
表 1 现场试验采用的设备参数
Table 1 Apparatus used in the experiment
国标规
定参数国标实
际参数美标规
定参数美标实
际参数落锤形式 穿心锤 安全锤 落锤质量/kg 63.5 63.6 63.5±1 64.2 锤垫质量/kg — 4.9 — — 落锤钻杆等
总质量/kg— 91.2 — 83.8 贯入器管靴
刃口厚度/mm1.6 1.6 2.5 2.5 钻杆 直径Φ 42，相对弯曲<1/1000 直径Φ 42，单位质量6.27 kg·m-1 直径Φ41.2，单位质量4.5~7.5 kg·m-1 直径Φ 42，单位质量6.27kg·m-1 
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表 2 美标、国标标贯未修正锤击数均值沿深度变化的情况
Table 2 Comparison between the mean values of the original blow counts of ASTM and GB at the same depth interval
深度范围/m 国标击数均值 美标击数均值 美标/国标 0.5~2.0 3.56 2.94 0.83 2.0~3.5 3.80 5.91 1.55 3.5~5.0 3.98 1.75 0.44 5.0~6.5 7.79 4.97 0.64 6.5~8.0 7.18 7.21 1.00 8.0~9.5 24.56 19.91 0.81 9.5~11.0 15.34 12.86 0.84 平均 0.87
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表 3 相同深度(N1)60和NG的均值对比情况
Table 3 Comparison between the mean value of (N1)60 and NG at the same depth interval
深度范围/m NG均值 (N1)60均值 (N1)60/NG 0.5~2.0 3.56 6.60 1.85 2.0~3.5 3.80 13.24 3.48 3.5~5.0 3.98 3.65 0.92 5.0~6.5 7.79 9.53 1.22 6.5~8.0 7.18 14.09 1.96 8.0~9.5 24.56 35.99 1.47 9.5~11.0 15.34 22.03 1.44
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表 4 不同半变异函数、数据变换、趋势项组合的交叉验证结果比较
Table 4 Comparison of the cross-validation results under different combinations of semivariance function,data transformation and trend removal
模型
编号半变异
函数趋势项
移除数据
变换均方根
误差95%置信
区间占比平均
CRPS1 K-Bessel 第一阶 无 0.429 95 0.234 2 K-Bessel 第一阶 经验法 0.468 95 0.237 3 消减函数 第一阶 经验法 0.482 94 0.244 4 消减函数 第一阶 无 0.453 95 0.246 5 指数函数 第一阶 经验法 0.488 94 0.246
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表 5 不考虑插值误差的(N1)60和NG的转换关系参数
Table 5 Estimated parameters for the relationships between (N1)60 and NG without considering the interpolation error
函数形式 a b σε BIC 线性函数 0.296 1.000 0.426 47.948 幂函数 0.393 0.948 0.425 51.236
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表 6 考虑插值误差的(N1)60和NG转换关系参数
Table 6 Estimated parameters for the relationship between the(N1)60 and NG considering the interpolation error
函数形式 a b σε BIC 线性函数 0.283 1.000 0.194 46.678 幂函数 0.434 0.917 0.227 49.422
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表 7 采用转换关系与未采用转换关系方法的判别结果比较
Table 7 Results of the liquefaction assessment models adopting and without adopting conversion model
未应用转换关系 应用转换关系 液化案例判别成功率 0.927 0.936 非液化案例判别成功率 0.642 0.661 总体判别成功率 0.785 0.799 模型误差均值 0.851 0.835 模型误差变异系数 0.469 0.442 BIC 190.0 181.9
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